【中图分类号】G623.5【文献标识码】B【文章编号】1001-4128(2011)03-0227-01

开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力,激发学生独立思考和创新的意识,这是一种新的教育理念的具体体现。现行数学教材中,习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的,学生在学习中缺乏主动参与的过程。那么在教材还没有提供足够的开放题之前,好的开放题从那里来?我认为最现实的办法是让“封闭”题“开放”。
1开放意识的形成
让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步,学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识,为了使数学适应时代的需,我们选择了数学开放题作为一个切入口,开放题的引入,促进了数学教育的开放化和个性化,从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。
关于开放题目前尚无确切的定论,通常是改变命题结构,改变设问方式,增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考,对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。高考题中也出现了开放题的“影子”,如2000年理19文20题函数单调性的参数取值范围问题(既有条件开放又有结论的开放,条件上,对,是选择,还是选择?选择前者则得,以后的道路荆棘丛生,而选择后者则有,以后的道路一片光明;结论开放体现在结论分为两段,一段上可使函数单调,另一段上不单调,且证明不单调的方法是寻找反例);
从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题,已引起了广大数学教育工作者的极大关注,开放题的研究已成为数学教育的一个热点。
2开放问题的构建
有了开放的意识,加上方法指导,开放才会成为可能。开放问题的构建主从两个方面进行,其一是问题本身的开放而获得新问题,其二是问题解法的开放而获得新思路。
〔例1〕已知,并且求证(《高中代数》下册第12页例7)
除教材介绍的方法外,根据目标的结构特征,改变一下考察问题的角度,或同时对目标的结构作些调整、重新组合,可获得如下思路两点(b,a)、(-m,-m)的连线的斜率大于两点(b,a)、(0,0)的连线的斜率;b个单位溶液中有a个单位溶质,其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度;在数轴上的原点和坐标为1的点处,分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心,位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。
〔例2〕由圆x2y2=4上任意一点向x轴作垂线。求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程。(《高中平面解析几何》复习参考题二第11题)(答案x2/4y2=1)
问题本身开放先从问题中分解出一些主“组件”,如A、“圆x2y2=4”;B、“x轴”;C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。
对A而言,圆作为一种特殊的曲线,我们将其重新定位在“曲线”上,那么曲线又可分解成大小、形状和位置三素,于是改变条件A(大小或形状或位置)就可使问题向三个方向延伸。
如改变位置,将A写成“(x-a)2(y-b)2=4”,即可得所求的轨迹方程为(x-a)2(2y-b)2=4;再将其特殊化(取a=0),并进行新的组合便有问题圆x2(y-b)2=4与椭圆x2(2y-b)2=4有怎样的位置关系?试说明理由。
简解解方程组得y=0或y=2b/3
当y=0时,x2b2=4,
(1)若b<-2或b>2,圆与椭圆没有公共点;
(2)若b=±2,圆与椭圆恰有一个公共点;
(3)若-2当y=2b/3时,x2b2/9=4,
(1)若b<-6或b>6,圆与椭圆没有公共点;
(2)若b=±6,圆与椭圆恰有一个公共点;
(3)若-6综上所述,圆x2(y-b)2=4与椭圆x2(2y-b)2=4,当b<-6或b>6时没有公共点;当b=±6时恰有一个公共点;当-6上面的解法是从“数”着手,也可以从“形”着手分析。
再进一步延伸,得当b>6时,圆x2(y-b)2=4上的点到椭圆x2(2y-b)2=4上的点的最大距离是多少?这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。
对B而言,它是一条特殊的直线,通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题;而C是一种特殊的线段分点,同样可以使其推广到一般,若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。
3开放问题的探索
开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力,推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归。开放的过程说白了就是探索的过程。以下以抛物线的焦点弦问题为例来看开放问题的探索。
〔例3〕已知抛物线,过焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x1,y)两点,P(x0,y0)是线段AB的中点;抛物线的准线为l,分别过点A、B、P作x轴的平行线,依次交l于M、N、Q,连接FM、FN、FQ、AQ和BQ(如图)
(1)试尽可能地找出
(a)点A、B、P的纵、横6个坐标所满足的等量关系;
(b)图中各线段的垂直关系.
(2)如果允许引辅助线,你还能发现哪些结论?
〔分析与解〕(1)(a)点A、B、P的6个坐标x1,y1;x2,y2;x0,y0之间至少有下列等量关系
①②③④
⑤⑥
具备对“封闭”题“开放”的意识的学生,事实上就有了创造意识,这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展;同时,随着高考命题改革的进一步深入,我想这样的“开放”会在高考中更显示其生命力。
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